Dans le livre de  A. N. Kostovskii (cf. ANK) Constructions géométriques avec un compas (1961 pour l'édition russe), j'ai trouvé cette figure:

En fait, je l'ai un peu arrangée à ma façon parce que, dans le livre, la figure n'est pas présentée comme fractale, mais ici je l'ai construite comme telle.

Voici la figure d'ANK, on peut y voir deux fois la même figure, une grande et une plus petite, intriquée:

ANK construit cette figure à partir d'un segment divisé en trois

ANK construit d'abord la petite figure, à partir du segment tiéré, puis la grande à partir de la petite.

Mais, en regardant la figure et pas le déroulé proposé,  je l'ai instinctivement construite à l'envers, à partir de la version la plus grande (et non la petite comme on peut le voir sur le dessin), et ce faisant il a fallu que je recrée la division en trois du segment pour pouvoir intégrer la petite construction dans la grande.

Il s'agit de la trisection du segment, qui, au contraire de la trisection de l'angle, est, constructible aux instruments.

J'ai pensé au départ à Thalès, seulement il faut construire les parallèles, ce qui n'est pas très pratique, surtout quand, comme moi, on refuse d'utiliser une équerre à cause de son imprécision.

Ce n'est pas très pratique, certes, sauf si on passe par la construction d'un parallélogramme. (merci Internet) Voici la grande figure, seule, avec le segment [AB] à trisectionner:

Si on trace les arcs de cercle  créant les points C et D comme pour tracer (CD) la bissectrice de [AB], on obtient les sommets du parallélogramme ACBD. (AC) est parallèle à (BD).

Je place sur chacun des deux nouveaux segments une concaténation de deux petits segments égaux.
AE=EF=BG=GH

Si je relie B et C' d'une part et A et D' d'autre part, je me retrouve avec un double Thalès, de part et d'autre du segment que je souhaite diviser.

Ce faisant, il "suffit" de joindre les divisions entre elles, ce qui donne les segments [FG] et [EH], qui coupent le segment [AB] en trois segments égaux.

Ça y est, on peut tracer le début de la petite figure intriquée.

Une fois faite la petite figure dans la grande,
on peut tracer une figure encore plus petite dans la petite figure, indéfiniment.

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